Я думаю, что для народа, который заходит ко мне на дайрик, эта запись не откроет ничего нового, но некоторые люди, которых я встречал, об этом не знают, поэтому чуть-чуть расскажу.
Проблема, наверное, идёт ещё со школьного обучения, когда любопытным школьникам ничего не отвечают на вопрос о том, почему через любые две точки можно провести прямую, причём только одну. Точнее, отвечать-то отвечают. Чем-то вроде "ну это же аксиома" (и?), "ну это же принимается без доказательств" (почему это вдруг?), "это очевидное свойство" (ни фига себе очевидное!), "это следует из наблюдений" (ни из каких наблюдений это не следует), "это надо просто запомнить" (худший возможный ответ), этот список можно продолжать и продолжать. Думаю, многие что-то подобное слышали. Так вот, это всё вранье. Ну, кроме первой фразы, которая ничего не объясняет, и, поэтому, по сути имеет тот же смысл, что и последняя.
Примерно похожий ответ зачастую ждёт школьника и при вопросе о том, что такое прямая. Ему предложат посмотреть на луч света, на натянутую нить, на линейку и поискать что-то общее. Для человека, которому для понимания нужна конкретика, это, может быть, и хороший подход, но это не всегда так. Для меня это явно было не так. Я даже не уверен, что это чаще всего именно так. В любом случае, опираться на наблюдения - это не подход математика.
Так вот, аксиома - это не "положение, принимаемое без доказательств". Аксиома - это кусок определения. Набор аксиом - это одно цельное определение. Определение для терминов "прямая", "точка", "проходит". По сути, прямая только потому и называется прямой, что удовлетворяет этому определению. Аксиомы верны для прямых потому, что мы именно те объекты и называем прямыми, для которых верны данные аксиомы. Это не прямая - модель лучика света, это лучик света более-менее при удачной подгонке удовлетворяет аксиомам для прямой и поэтому может ей в некотором приближении считаться. И то, что удовлетворяет определениям геометрии, мы и называем прямой. Это - ответ одновременно на те самые два вопроса.
Если выяснится, что мы можем применить эти аксиомы к кроликам и тиграм (любого кролика съедает тигр, по двум съеденным кроликам можно однозначно определить тигра, и так далее по аксиомам — задание на дом), то съедение будет "прохождением", тигры будут "прямыми", а кролики "точками", хотя никакого отношения к линейкам, гвоздикам и натянутым ниткам они иметь не будут. Тигры будут большие и полосатые, с острыми клыками, кролики маленькие и пушистые, с длинными ушами. Кролики будут есть морковку и размножаться. Тигры тоже будут. Не морковку, разумеется. Кто-то будет кого-то знать, у каждого будет своя история. Но это всё не важно. Потому что они же будут прямыми и точками. И все теоремы соответствующей геометрии (евклидовой или нет - зависит от того, какие еще аксиомы будут приемлемы) к ним будут относиться к ним в полной мере. Если это новость, у вас сейчас должно адски болеть пространственное воображение. Это нормально и даже хорошо, вот и выключите его нафиг. Или спалите к чертям, не знаю, что лучше. Прямые и точки - это не бесконечно тонкие линии и бесконечно маленькие пятнышки в вакууме. Точнее, не только они, но и нечто совсе-ем другое.
Кэп, в общем-то, out.
Мне кажется, что мне так и не удалось объяснить то, что я хотел. Ну что ж поделать...